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1. 수학의 역사와 발전
1.1. 수의 탄생과 발전
인류는 개수를 셀 필요가 있었기 때문에 수를 생활에 활용하기 시작했다. 이는 수렵채집시대에 해당하는데, 부족이든 국가든 공동체 안에서 수를 공유하기 위해서는 모든 사람들이 그 내용을 알 수 있어야 했다. 이를 위해 특정한 모양을 그리기 시작했는데, 이것이 물표고, 빗금 눈금이고 상형문자다. 물표는 이후 5천 년에 걸쳐 흔히 사용되었으며, 그 후로는 빗금 눈금이 주로 사용되었다. 빗금 눈금은 대략 2~3만년 정도 이전에 아프리카와 유럽 지역에서 발견되었는데, 다섯을 셀 때 막대기 모양 네 개를 긋고 나머지 한 개를 빗금으로 긋는 방식이었다.
인류가 정착생활을 하기 시작하면서 찰흙 판에 새겨진 초기의 기호들은 상형문자로 바뀌었다. 기원전 3천 년 전 수메르 이들은 정교한 형태의 문자를 개발했는데, 이를 가리켜 설형문자라고 한다. 수는 바빌로니아에 이르러 산수로서의 역할을 했고, 이는 인도를 오가는 상인들에 의해 산수는 양쪽에서 경쟁적으로 발전해왔다.
오늘날 사용되는 '0'은 인도에서 만들어지고 아라비아 인들에 의해 전 세계로 퍼져갔으며, 그것이 바로 우리가 지금 쓰고 있는 아라비아 숫자다. 수학의 역사는 수를 표시하기 위한 기호의 발명과 함께 시작한다. 0,1,2..로 시작해 어떤 크기라도 표시하는 우리의 수 체계는 비교적 최근에 발명된 것으로, 대략 1500년 전에 나타났으며 고작 450년 전에 정확하게 수를 표시할 수 있는 십진법으로 확장되었다.
1.2. 그리스 수학자들의 공헌
그리스 수학자들의 공헌은 수학의 발전에 지대한 영향을 미쳤다. 피타고라스 교도들은 신비주의적 관점에서 수 1이 삼라만상 최초의 근원이라고 믿었다. 그들은 수 2와 3을 각각 여성적 원리와 남성적 원리를 상징한다고 여겼다. 또한 수 4는 조화를 상징하였으며 아울러 세상만물의 기본 재료인 4 원소(땅, 공기, 불, 물)를 상징하였다. 이들은 10에 깊고 심오한 의미가 있다고 믿었는데, 이는 10=1+2+3+4로 최초의 근원과 여성적 원리, 남성적 원리 그리고 4 원소가 합쳐진 수이기 때문이다. 더욱이 이 네 개의 수들은 볼링핀처럼 삼각형을 이루었는데, 그리스 기하학 전체는 삼각형의 성질을 바탕으로 이루어져 있었다.
그리스인들은 정수에서 출발하여 유리수 그리고 마침내 무리수까지 알아냈다. 유리수를 이용해 무리수의 값은 근사적으로 알아내는 방법을 찾은 것이다. 그들은 자신들이 이해할 수 있는 기하학 증명 방법으로 이 아이디어를 실현한 것이다.
고대 수학자 중 단연 슈퍼스타는 유클리드이다. 그가 쓴 『기하학원론』은 모든 시대를 통틀어 수학의 베스트셀러가 되었다. 『기하학원론』은 총 13권으로 구성되어 있으며, 이차원(평면), 삼차원(입체)의 기하학을 엄밀하게 다루고 있다. 그는 도형에 대해 처음으로 증명을 시도했다. 『기하학원론』은 단순한 바탕에서부터 시작하여, 단계별로 점점 더 정교한 기하학 정리들을 증명해나갔다. 각 정리를 이전의 정리들과 여러 공리들로부터 유도해낸 것이다.
고대 수학자 가운데 유클리드와 대비되는 인물이 아르키메데스다. 그는 기하학에 중요한 이바지를 했으며, 수학을 자연계에 응용한 선구자다. 특히 원, 구, 원기둥 연구는 유명하다. 오늘날 대략 3.14의 값인 수 π와 관련된 연구였다. 물론 당시에 π를 별도로 사용하지는 않았다. 아르키메데스는 자신의 연구를 실제 사례에 응용했다. 일례로 자신의 '지렛대의 원리'를 바탕으로 거대한 무기를 만들었는데, 적에게 큰 바위를 던질 수 있었다.
그리스 수학자들은 인류 문화 발전에 두 가지 중요한 이바지를 했다. 첫째, 기하학을 체계적으로 이해하고, 이를 이용하여 그리스인들은 지구의 크기와 모양을 이해했으며, 지구가 태양과 달, 게다가 태양계의 다른 천체들의 복잡한 운동과 맺는 관계도 이해했다. 둘째, 논리 추론을 체계적으로 이용해 어떤 논리적 주장을 증명할 수 있었다. 논리적 주장은 그들의 철학에서 처음 등장했지만, 유클리드와 그의 후학들의 기하학에서 가장 발전되고 명확한 형식을 갖추었다. 이후 수학의 발전은 그 덕분이다.
1.3. 아라비아 숫자와 유럽으로의 전파
현재 우리가 사용하고 있는 숫자 체계는 인도-아라비아 수라고 불리며, 이는 인도에서 시작되어 아랍 지역에서 발전한 숫자 기호들이다. 가장 초기 인도 숫자는 이집트 숫자인 Ⅰ, Ⅱ, Ⅲ 등과 비슷한 모습이었다. 후에 876년에 이르러서야 인도 괄리오르의 석재 도표에서 0이 처음 등장하였다.
초기 수학은 천문학 연구를 위한 도구로 사용되었으며, 인도와 아랍에서 숫자가 점차 발달하여 활발히 사용되었다. 약 100년경에는 중국에서도 독립적으로 수학이 적용되고 있었고, 오늘날의 비례식 같은 문제가 다루어지기도 하였다. 아랍과 인도가 수학을 비롯한 여러 학문 분야에서 눈부신 발전을 이룬 반면, 유럽은 상대적으로 학문 발전이 정체되어 있었다.
그러다가 동양의 학문이 유럽에 들어오면서 변화의 발걸음이 빨라지게 되었다...
