푸리에 정리 (푸리에 정리의 핵심과 시리즈,트랜스폼,인테그랄 간략정리)

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푸리에 정리, 간략 레포트입니다.

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본문내용

◆푸리에정리의 핵심
임의의 음파가 가진 패턴, 혹은 사실상 임의의 파동의 패턴을 , 그 패턴이 아무리
복잡하다 할지라도 , 사인함수의 조합으로 구성할 수 있다.
이것을 수학적으로 말하면 주기 L의 주기함수 F(x)가 존재할때 이 함수F(x)는
주기의 정수분의 일 ( L/1 , L/2 , L/3, L/4 ....... ) 의 주기를 같는 조화함수의
합이다.
이 말은 즉 위에서 설명한 것과 같다. 어떤 임의의 파동도 사인함수의 조합으로
나타낼수 있다는 것이다. 조화함수란 사인함수를 의미한다.
수학의 언어인 수식을 가지고 표현하면 다음과 같다.
where
◆푸리에 시리즈
함수 f가 (-π, π)에서 정의되고 이 구간에서 적분가능하다면 f(x)를 다음과 같이 표현할 수 있다
f(x) = a0 + Σ{from n=1 to ∞} (an cos nx + bn sin nx) ...(★)
이 때의 계수 a0, an, bn(n은 자연수)은 다음과 같다
a0 = (1/2π)∫{from -π to π} f(x) dx
an = (1/π)∫{from -π to π} f(x) cos nx dx
bn = (1/π)∫{from -π to π} f(x) sin nx dx ...(♧)
(★)식의 양변을 (-π, π)에서 적분하면 a0를,
(★)식의 양변에 cos mx를 곱한 후 (-π, π)에서 적분하면 an을,
(★)식의 양변에 sin mx를 곱한 후 (-π, π)에서 적분하면 bn을 구할 수 있으며 이 과정은 정리된 곳이 많으니 쉽게 찾아보실 수 있을 것 입니다.
2) 무한급수의 값을 적분으로 변환하여 계산하는데 사용하기도 한다. 또한 편미분 방정식을 해결하는데도 사용되며 전자나 통신쪽을 공부한다면 Fourier Transform으로 확장하여 시간 영역의 신호를 주파수 영역에서 해석할 때 사용할 수도 있다. 이 외에도 많은 분야에 사용되겠지만 이정도가 대표적.
3) f(x) = x²/2 라 하고 (♧)의 식을 이용하여 계수를 구함
참고로 x²/2는

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