Gauss elimination, Gauss-Jordan method, Gauss-Seidel method

소개글

Gauss elimination, Gauss-Jordan method, Gauss-Seidel method에 대해 설명하고

주어진 연립방정식의 근을 구하며

각각의 연산회수를 통해 정확도를 비교한다.

Matlab code 포함
일반적인 상황에 적용 가능하도록 모든 미지수들을 직접 입력하도록 하였으며 상세한 주석을 통하여 이해하기 쉽도록 짜놨습니다.

목차

1. Definition
2 Theory
3 Result
4 Discussion
5 Code

본문내용

1. Definition

위 식의 근을 다음 3가지 방법으로 구하시오.
1) Gauss 소거법
2) Gauss-Jordan 법
3) Gauss-Seidel 법

2. Theory
가. Gauss소거법은 다음과 같은 두 가지 과정으로 이루어진다.
1.1.1. 전진소거
방정식을 조작하여 미지수 중의 하나를 방정식으로부터 소거한다, 이 소거 단계의 결과로 한 개의 미지수만을 포함하는 한 개의 방정식을 얻는다.
1.1.2. 후진대입
결과적으로, 이 방정식을 바로 푼 다음 그 결과를 원래의 방정식에 후진대입하여, 나머지 미지수의 값을 얻는다.
이때, 소거와 후진대입의 단계에서 0으로 나누는 경우나 0에 가까운 수로 나누어 반올림오차가 발생하는 경우가 있을 수 있기 때문에 이를 해결하기 위해 피벗화 기법을 이용한다.
나. Gauss-Jordan 법
Gauss-Jordan법은 Gauss 소거법의 변형이라고 할 수 있다. 주요 차이점은 다음과 같다. Gauss-Jordan법에서는 피벗 요소 밑에 있는 방정식 뿐만 아니라 모든 방정식으로부터 미지수를 소거한다는 것이다. 또 모든 행을 각각의 피벗요소로 나누어 정규화된다. 따라서 소거단계의 결과로 삼각행렬이 아닌 단위행렬을 얻게 된다. 결과적으로 이 방법에서는 해를 구하기 위해 후진대입을 할 필요가 없게 된다.
다. Gauss-Seidel 법
Gauss-Seidel법은 가장 흔하게 사용되고 있는 반복법이다. 다음과 같이 n개의 연립방정식이 있다고 가정하자.

문제를 간단히 하기 위해 3X3 방정식 시스템에 국한하여 설명하도록 하자. 만일 대각선 요소들 중 0의 값을 가진 것이 전혀 없다면, 첫 번째 방정식을 에 대해서, 두 번째 방정식을 , 세 번째 방정식을 에 대해서 푼다.

참고 자료

없음