소개글
"피타고라스의 정리 증명"에 대한 내용입니다.
목차
1. 피타고라스 정리
1.1. 피타고라스 정리의 정의
1.2. 피타고라스 정리의 증명 방법
1.2.1. 비례에 의한 증명
1.2.2. 유클리드 증명방법
1.2.3. 바스카라 증명방법
1.2.4. 호킨스 증명방법
1.2.5. 서톤의 증명방법
1.2.6. 비례를 이용한 증명
2. 3차방정식 증명
2.1. 3차방정식의 항상 서로 다른 세 실근을 가짐 증명
3. 무리수 증명
3.1. √3이 무리수임을 증명
4. 자연수 집합과 짝수 집합의 크기 동일성 증명
5. 피타고라스 학파의 역사
5.1. 고대 그리스 수학에서 피타고라스 학파가 역사의 무대에서 사라지게 된 이유
6. 르네상스 시대 수학 및 자연과학의 발전
6.1. 르네상스 시대 수학과 자연과학 발전의 중요한 동기
6.2. 르네상스 시대 수학과 자연과학 발전의 특징
7. 유클리드의 기하학 원본
7.1. 유클리드의 기하학 원본이 이룬 업적
7.2. 유클리드의 정의, 공리, 부가적인 공리
7.3. 유클리드 기하학의 발전과 한계
8. 수학의 역사와 수의 개념 발달
8.1. 셈과 표현법의 발달
8.2. 수와 표상의 관계
9. 참고 문헌
본문내용
1. 피타고라스 정리
1.1. 피타고라스 정리의 정의
직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고, 빗변의 길이를 c라 하면, a^2 + b^2 = c^2 이 성립한다"는 것이 피타고라스 정리의 정의이다. 즉, 직각삼각형의 두 변의 길이의 제곱의 합은 빗변의 길이의 제곱과 같다는 것이다. 이는 고대 그리스의 수학자 피타고라스에 의해 최초로 정립된 수학 원리로, 평면기하학의 대표적인 정리 중 하나이다. 피타고라스 정리는 직각삼각형에서 성립하며, 이 정리를 통해 직각삼각형의 각 변의 길이를 계산하거나 알 수 있게 되었다. 또한 이를 응용하면 여러 기하학적 문제를 해결할 수 있게 되었다. 피타고라스 정리는 수학뿐만 아니라 건축, 공학 등 다양한 분야에서 널리 활용되는 중요한 정리이다.
1.2. 피타고라스 정리의 증명 방법
1.2.1. 비례에 의한 증명
피타고라스 정리는 직각삼각형에서 직각을 낀 두 변의 길이를 각각 a, b라 하고, 빗변의 길이를 c라 할 때, a^2 + b^2 = c^2가 성립한다는 것을 말한다. 이 피타고라스 정리의 증명 방법 중 하나가 비례에 의한 증명이다.
비례에 의한 증명에서는 먼저 직각삼각형 ABC와 그 닮음삼각형 DBA를 고려한다. 직각삼각형 ABC와 닮음삼각형 DBA는 서로 닮음 관계에 있다. 따라서 △CDB와 △ADC, △ACB는 각각 서로 닮음이 된다.
이때 △CDB와 △ADC, △ACB의 크기 비율은 각각 a^2 : b^2 = k, b^2 : c^2 = k, a^2 : c^2 = k (단, k는 비례상수)라고 할 수 있다.
그리고 넓이 공식에 의해 △CDB = (1/2)a^2, △ADC = (1/2)b^2, △ACB = (1/2)c^2이 성립한다.
이를 종합하면 a^2 + b^2 = c^2가 성립하게 된다. 즉, 직각삼각형의 두 변의 제곱의 합이 빗변의 제곱과 같다는 피타고라스 정리가 성립하게 되는 것이다.
따라서 비례에 의한 증명은 직각삼각형과 그 닮음삼각형의 관계를 이용하여 피타고라스 정리를 증명하는 방법이라고 할 수 있다.""
1.2.2. 유클리드 증명방법
직각삼각형의 세 변 길이를 각각 a, b, c라 할 때, 피타고라스 정리의 유클리드 증명방법은 다음과 같다.
우선 직각삼각형 ABC의 직각을 C라고 하고, 변의 길이를 AB=a, BC=b, AC=c라고 한다. 그리고 AC 연장선상에 점 D를 찍어 CB=AC가 되도록 한다. 이때 ACHI 직사각형의 면적은 a^2이 되고, BFGC 직사각형의 면적은 b^2이 된다. 또한 ADEB 정사각형의 면적은 c^2이다.
이제 삼각형 ACB와 ADC, ACB와 ABI가 서로 닮음 관계에 있음을 이용한다. 이를 통해 ACHI 직사각형의 면적이 ADNM 직사각형의 면적과 같고, BFGC 직사각형의 면적이 MNEB 직사각형의 면적과 같다는 것을 밝힐 수 있다.
결국 ADEB 정사각형의 면적이 ACHI 직사각형과 BFGC 직사각형의 면적의 합과 같음을 알 수 있다. 즉, a^2 + b^2 = c^2가 성립하여 피타고라스 정리가 증명된다.
이처럼 유클리드는 기하학적 도형을 이용하여 직관적이고 논리적인 증명 방법을 제시했다. 이는 당시 수학자들이 제시했던 증명 방식보다 훨씬 체계적이고 일반화된 접근법이었다고 평가받는다.
1.2.3. 바스카라 증명방법
바스카라 증명방법은 인도의 수학자이자 천문학자인 바스카라가 제시한 피타고라스 정리의 증명 방법이다. 바스카라는 직각삼각형에서 빗변의 길이 c와 두 변의 길이 a, b 사이의 관계를 다음과 같이 증명하였다.
c^2 = (ab)/2 + (a-b)^2
직각삼각형 ABC에서 변의 길이를 c, a, b라 하면, 피타고라스 정리에 의해 c^2 = a^2 + b^2이 성립한다. 바스카라는 이 식을 다음과 같이 변형하였다.
c^2 = (a + b)(a - b) + 2ab
c^2 = (a^2 - b^2) + 2ab
c^2 = (a-b)^2 + 2ab
이를 정리하면 c^2 = (ab)/2 + (a-b)^2 가 된다.
이 증명 방법의 특징은 직각삼각형의 두 변 a, b와 빗변 c 사이의 대수적 관계를 이용하여 피타고라스 정리를 증명하는 것이다. 기존의 증명 방법들이 주로 기하학적 구성을 사용한 반면, 바스카라는 순수 대수적 계산을 통해 정리를 도출하였다는 점에서 차별성을 가진다.
또한 바스카라의 증명은 직각삼각형의 면적 계산과 관련지어 설명되는데, 이를 통해 피타고라스 정리가 기하학적 성질뿐만 아니라 대수적 구조와도 밀접히 연관되어 있음을 보여준다.
종합하면, 바스카라 증명방법은 피타고라스 정리에 대한 독창적이고 혁신적인 접근 방식을 제시함으로써 기하학과 대수학의 연계성을 보여주었다는 데 그 의의가 있다고 할 수 있다.
1.2.4. 호킨스 증명방법
호킨스 증명방법은 직각삼각형의 ...
참고 자료
1. 신민영, 피타고라스 정리에 관한 고찰, 영남대 교육대학원 석사학위논문, 2009.
2. 김용찬, 수학의 원리는 아름답다, 영남대학교출판부, 2008.
3. 정완상, 피타고라스가 들려주는 삼각형, 자음과 모음, 2005.
4. 김현주, 르네상스 시대의 인간관 연구 : `주체`와 `합리성`을 중심으로, 한국교원대 교육대학원 석사학위논문, 2005.
5. 김은실, 르네상스를 통한 원근법연구, 한남대 교육대학원 석사학위논문, 2008.
6. 이주환, 르네상스 인문주의가 종교개혁의 사상형성에 미친 영향과 의의, 양대 [신학]대학원 석사학위논문, 2007.
유클리드의 창
수학의 필하모니
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